Loi binomiale et Python

Dans tout cet exercice, on considère l'épreuve de Bernoulli consistant à piocher une carte dans un jeu de \(52\) cartes et à considérer comme succès l'événement « avoir un valet, une dame, un roi ou un as ». On répétera ensuite plusieurs fois de façon identique et indépendante cette épreuve.

Dans le code suivant, la fonction \(\texttt{epreuve_bernoulli}\) simule une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès \(p\) est passée en paramètre. La fonction renvoie \(1\) lors d'un succès et \(0\) en cas d'échec.

Rappel

La fonction \(\texttt{random}\) du module \(\texttt{random}\) renvoie un nombre aléatoire entre \(0\) inclus et \(1\) exclu.  On suppose, par ailleurs, que la probabilité que la condition \(\texttt{random()<=p}\) soit vérifiée est \(p\).

1. Compléter le code afin qu'il affiche les issues de \(5\) répétitions identiques et indépendantes de cette même épreuve de Bernoulli.
2. Exécuter le code \(10\) fois en notant à chaque répétition le nombre de succès.
3. Calculer la fréquence des échantillons contenant \(2\) succès.
4. Calculer la probabilité d'obtenir exactement \(2\) succès sur cinq répétitions de cette épreuve de Bernoulli.
On ajoute au code une fonction \(\texttt{schema_bernoulli}\) qui simule un schéma de Bernoulli dont les paramètres \(n\) et \(p\) sont passés en arguments et qui renvoie un tableau contenant les résultats de ce schéma de Bernoulli, les \(1\) représentant les succès et les \(0\) les échecs.
5. Compléter le nouveau code afin qu'il affiche, comme précédemment, les résultats de \(5\) répétitions identiques et indépendantes de cette même épreuve de Bernoulli.
6. Exécuter le code \(10\) fois en notant, à chaque répétition, le nombre de succès. Ces résultats sont-ils cohérents avec les questions précédentes ?

On cherche maintenant à créer \(100\;000\) échantillons de \(5\) répétitions identiques et indépendantes de cette même épreuve de Bernoulli.
7. Compléter le code ci-dessous afin que qu'il génère ces \(100\;000\) échantillons, qu'il donne le nombre des échantillons contenant deux succès sur cinq tirages et qu'il affiche, finalement, la fréquence de ces échantillons.
La fonction \(\texttt{sum(liste)}\) additionne les éléments de \(\texttt{liste}\).

8. Comparer la valeur obtenue à la probabilité de piocher \(2\) figures sur \(5\) tirages.
9. Modifier à nouveau le code afin qu'il affiche la moyenne des succès sur ces \(100\;000\) échantillons, puis comparer cette moyenne à l'espérance de la variable aléatoire \(X\) qui compte le nombre de succès sur \(5\) tirages.